В начале главы мы отмечали принципиальное различие между вещественными и целыми числами: целые числа дискретны, а вещественные, напротив, непрерывны, а значит, не могут быть полностью корректно перенесены в дискретную по своей природе вычислительную машину. Как же всё-таки кодируются в компьютерах вещественные числа?

В первых ЭВМ использовалось кодирование с фиксированной запятой. Это значит, что положение запятой, отделяющей целую часть от дробной, было жёстко закреплено в

разрядной сетке конкретной ЭВМ — раз и навсегда для всех чисел и для всех технических устройств этой машины. Все вычислительные алгоритмы были заранее «настроены» на это фиксированное размещение. Но в задачах, которые решаются на компьютерах, встреча¬ются самые разнообразные по величине числа, от размера атома до астрономических расстояний. Чтобы согласовать их с таким жёстким представлением, программист, подготавливая задачу к решению на ЭВМ, выполнял большую предварительную работу по масштабированию данных: маленькие числа умножались на определённые коэффициенты, а большие, напротив, делились. Масштабы подбирались так, чтобы результаты всех операций, включая промежуточные, не выходили за пределы разрядной сетки и в то же время обеспечивалась максимально возможная точность (все разряды данных по возможности находились в пределах сетки). Эта работа требовала много времени и часто являлась источником ошибок.

 

Тем не менее работа с фиксированным размещением запятой не только показала недостатки метода, но и наметила путь их устранения. В самом деле, если наиболее сложным и трудоёмким местом является масштабирование данных, надо его автоматизировать. Иными словами, надо научить машину самостоятельно размещать запятую так, чтобы числа при счёте не выходили за разрядную сетку и по возможности сохранялись с максимальной точностью. Конечно, для этого нужно разрешить компьютеру «перемещать» запятую, а значит, дополнительно как-то сохранять в двоичном коде числа информацию о ее текущем положении. В этом и заключается главная идея представления чисел с плавающей запятой¹.

Удобное представление вещественных чисел не пришлось специально придумывать. В математике уже существовал подходя¬щий способ записи, основанный на том, что любое число А в сис¬теме счисления с основанием В можно записать в виде

A=±ZBP,

где Z называют значащей частью, а показатель степени Р — порядком числа (рис. 4.19). Для десятичной системы это выглядит привычно, например, заряд электрона равен -1,6 ■ 10~19 кулона, а скорость света в вакууме составляет 3 ■ 108 м/с.

Однако представление числа с плавающей запятой не един¬ственно. Например, число 23,4 можно записать следующими способами:

2340 • 10^-2 - 234 ■ 10^-1 = 23,4 -10° = 2,34 ■ 10¹ -= 0,234 ■ 102 = 0,0234 ■ 10³ = ...

На первый взгляд, выбор очень широкий, однако большинство вариантов обладают серьезными недостатками. В частности,

---

В англоязычных странах используется термин floating point -  плавающая точка, поскольку в этих странах традиционно целая часть  отделяется от дробной не запятой, как у нас, а точкой.

---

все представления,в которых  значащая часть содержит нули непосредственно после запятой  (2340, 23400 и т.п ) или перед ней ( 2340, 23400 и т.п) не подходят , поскольку, сохраняя эти незначащие нули, мы напрасно увеличиваем разрядность чисел. Согласно математической теории, для обеспечения максимальной точности при сохранении цифр числа в фиксированном количестве разрядов надо выбирать такой метод, при котором значащие цифры числа следует поместить как можно ближе к запятой. С этой точки зрения оптимальным будет вариант, когда целая часть равна нулю, а первая ненулевая цифра находится сразу после запятой (в нашем примере 0,234). При этом вместо двух частей (целой и дробной) остаётся только дробная, что фактически делает ненужной «разделительную» запятую.

Но взгляните на рис. 4.20, а, изображающий такое число на индикаторе: первый разряд всегда равен нулю, что делает его практически бесполезным. Поэтому с точки зрения экономии разрядов лучше взять другой вариант, в котором значащая часть равна 2,34 (рис. 4.20, б). Именно такой выбор закреплён в стан¬дарте IEEE 754¹, на котором основана арифметика вещественных чисел в современных компьютерах.

 

 

Итак, существуют два приблизительно равноценных способа представления чисел с плавающей запятой:

оптимальный с теоретической точки зрения, в котором це¬лая часть нулевая, а первая цифра дробной части ненулевая (0,234 ■ 10²);

---

 

Последняя вереи. IEEE 754-2008.

---

• более удобный с практической точки зрения, в котором целая часть состоит из единственной ненулевой цифры (2,34 ■ 10')-

К сожалению, эта «двойственность» порождает некоторую путаницу. В теоретической литературе, как правило, используется первый способ¹. Все описания конкретных компьютерных систем, напротив, базируются на втором. Причём в обоих случаях обычно используется один и тот же русский термин — мантисса. Зато в англоязычной компьютерной литературе приняты два разных термина: в первом случае значащая часть называется mantissa (слово «мантисса» для математиков однозначно связано с дробной частью числа), а во втором — significand (значащая часть).

Далее мы будем использовать второй вариант, поскольку именно он даёт возможность решать задачи, связанные с практическим кодированием вещественных чисел. В связи с этим мы будем применять термин «значащая часть», а не «мантисса».

---

В компьютере используется такое представление вещественных чисел с плавающей запятой, при котором значащая часть Z удовлетворяет условию 1 <Z <B, где В — основание системы счисления. Такое представление называется нормализованным.

---

Нормализованное представление числа единственно — в нашем примере это 2,34 ■ 10¹. Любое число может быть легко нор¬мализовано. Единственное, но важное исключение из правила составляет нуль — для него невозможно получить Z > 1. Ради такого важного случая было введено дополнительное соглашение: число 0, в котором все биты нулевые, в качестве исключения считается нормализованным.

Всё сказанное выше можно применить и к двоичной системе:

 A = ±Z-2P, причём 1<Z<2.

Например: -7₁₀ = -111 ■ 2° = -1,11 ■ 2¹⁰ (не забывайте, что значащая часть и порядок записаны в двоичной системе!); отсюда Z =1,11 и Р = 10. Двоичная значащая часть всегда (исключая, разумеется, ноль!) начинается с единицы, так как 1<Z<2. Поэтому

---

К этой группе относится большинство отечественных книг по основам вычислительной техники.

---

 

во многих компьютерах (в том числе в компьютерах на базе процессоров Intel) эта так называемая скрытая единица не хранится в ОЗУ, что позволяет сэкономить еще один дополнительный разряд значащей части¹.

Идея «скрытой единицы» раньше действительно давала заметное увеличение точности представления чисел, поскольку количество разрядов в устройствах ЭВМ того времени было невелико и поэтому усложнение метода кодирования было оправдано. Сейчас, когда процессоры работают с 64-битными данными, это скорее дань традиции, чем практически полезная мера².

Таким образом, при кодировании вещественного числа с плавающей запятой фактически хранятся две величины: его значащая часть (significand) и порядок. От разрядности значащей части зависит точность вычислений, а от разрядности порядка — диапазон представления чисел. В таблице 4.6 приведены характеристики стандартных вещественных типов данных, используемых в математическом сопроцессоре Intel.

 

Рассмотрим, как «распланированы» 4 байта, отводимые под простейший тип single. Тип double устроен совершенно аналогично, а тип extended, который является основным форматом для

---

¹ В результате то, что осталось после  «скрытия» единичной целой части/, можно вполне обоснованно называть мантиссой.

² Оценим величину добавки для математического сопроцессора Intel. Значащая часть чисел двойной точности вместо скрытой «единицы»приобретает дополнительный 53-й (!) бит, что прибавляет к значению числа поправку 2^-53≈ 1,1•10^-16, влияющую на 16-й десятичный знак; согласно IEEE 754-2008, в 128-битовых числах эта поправка будет и того меньше : 2¹¹³≈9,6•10³⁵

 

вычислений в математическом сопроцессоре, отличается только тем, что в нём единица в целой части не «скрывается». 

В числах типа single 23 младших бита (с номерами от О до 22) хранят значащую часть числа, следующие 8 битов (с 23 по 30) — порядок, а старший (31-й) бит отведен под знак числа (рис. 4.21).

 

Правила двоичного кодирования вещественных чисел во многом отличаются от правил кодирования целых чисел. Для того чтобы в них разобраться, рассмотрим конкретный пример — закодируем число -17,25 в формате single. Прежде всего, переведём модуль числа в двоичную систему, отдельно целую и дробную части (см. § 11):

17,25 = 10001,013.

Для нормализации нужно передвинуть запятую на 4₁₀ = 100₂ 

10001,01 ■ 2° = 1,000101 ■ 2¹⁰⁰.

Построим значащую часть, «скрыв» единицу в целой части:

М = Z -1 = 0,0001010...0.

Так как число отрицательное, знаковый разряд нужно установить в 1, т. е. $=1

---

В отличие от целых чисел значащая часть вещественных чисел хранится в прямом коде.

---

Таким образом, значащие части положительного и равного по модулю отрицательного числа одинаковы, а отличаются они только старшим (знаковым) битом.

Теперь остаётся закодировать двоичный порядок 100. Порядок — это целое число со знаком, для него используется кодирование со смещением: чтобы вообще избавиться от знака порядка, к нему добавляют некоторое положительное смещение d:

Pd=P + d.

Величина смещения подбирается так, чтобы число Pd было всегда положительным. В этом случае оказывается легче скон¬струировать математический сопроцессор для обработки вещественных чисел.

Для кодирования порядка в числах типа single используют смещение d = 127₁₀ = 7F₁₆. Таким образом, для нашего примера

Pd = 100+ 111 1111 = 1000 0011.

Собирая теперь S, Pd и М в единое 32-разрядное число, полу¬чаем:

1 10000011 00010100000000000000000

или более компактно в шестнадцатеричной системе:

С1 8А 00 00.

Этот код и будет записан в память¹.

Не все двоичные комбинации для вещественных чисел соответствуют «правильным »числам: некоторые из них кодируют бесконечные значения, а некоторые — нечисловые данные (англ. NaN — not a number, «не число»). Они отличаются от остальных чисел тем, что имеют максимально возможный порядок² {например, для типа single это смещённый порядок P_d — 255, а для типа для double — 2047). Подобные «неправильные» данные возника¬ют только в результате ошибок в вычислениях.

Таким образом, мы увидели, что целые и вещественные числа хранятся в памяти компьютера совершенно по-разному. Поэтому неудивительно, что свойства значений, скажем 3 и 3,0, в компьютерной арифметике совершенно различные.

---

¹ На самом деле в IBM-совместимых персональных компьютерах байты будут сохранены в памяти в обратном порядке: 00 00 8А С1.

² Это вполне логично, поскольку для вещественных чисел переполнение (получение «бесконечного» значения) наступает именно при больших порядках.

---

Вопросы и задания

1. Чем вызваны трудности, возникающие при представлении вещественных чисел в компьютере? Как они связаны с непрерывностью вещественных чисел в математике?
2. Объясните, как хранятся вещественные числа с фиксированной запятой. Почему этот метод не используется в современных компьютерах?
3. Что такое плавающая запятая? Из каких частей состоит число при кодировании с плавающей запятой?
4. Приведите примеры физических величин, которые обычно записывают в форме с плавающей запятой.
5. Почему метод представления чисел с плавающей запятой неоднозначен? Как изменится порядок, если запятую сместить на один разряд влево (вправо)?
6. Что такое нормализованная форма записи числа?
7. Как требования нормализации связаны с точностью представления вещественных чисел?
8. Единственно ли нормализованное представление числа? Все ли числа имеют нормализованное представление?
9. Почему старший бит значащей части нормализованного двоичного числа всегда равен единице? Как этот факт используется на практике?
10. Какие числа сохраняются в памяти с нулевой значащей частью?
11. На что влияет разрядность значащей части и разрядность порядка?
12. Почему задание разрядности для целых чисел однозначно определяет их свойства, а для вещественных — нет?
13. Что вы знаете о типах single, double и extended?
14. Как хранится порядок во всех рассмотренных форматах вещественных чисел? Почему не хранится знак порядка?
15. Сравните методы хранения отрицательных целых и вещественных чисел.
16. Как по двоичному представлению вещественного числа определить, положительное оно или отрицательное? Подходит ли этот метод для целых чисел?
17. В каком из вещественных форм не используется «скрытая единица» и почему?

    18.Какие логические операции и с какой маской надо применить, чтобы в переменной типа single :

     а) выделить значащую часть, сбросив порядок и знаковый бит;

     б) восстановить в полученной знаковой части «скрытую единицу»?

    19. Как можно выделить смещенный порядок из числа типа single? Как получить истинное значение порядка?

    20. С помощью какой маски можно выделить знаковый бит числа, хранящегося в формате single?

    21. Что такое NaN? 

    22. Чем различаются представление в памяти целого числа и равного ему вещественного с нулевой дробной частью ( например, 12 и 12,0)?

 

Подготовьте сообщение 

а)«Типы данных для хранения вещественных чисел»

б)«Стандарт IEEE-754»